Olemattomat ja näkyvät varjopuut

VÄITÖS: FL Virpi Kauko 15.2.03 klo 12 S212, Seminaarinmäki
FL Virpi Kaukon matematiikan väitöskirjan Visible and nonexistent trees of Mandelbrot sets tarkastustilaisuus. Vastaväittäjänä professori Dierk Schleicher (School of Engineering and Science, International University Bremen, Saksa) ja kustoksena professori Pekka Koskela.

Nippuväitöskirjan yhteenveto-osa: Report #86

Lehdistötiedote

Monille fraktaaleiksi kutsutuille joukoille on ominaista puun oksiston tai verisuoniston tapaan haaroittunut rakenne. Tällaisia ovat myös Mandelbrotin joukot, joissa muodoltaan yksi- tai useampilehdykkäistä kasvinlehteä muistuttavat ns. hyperboliset komponentit liittyvät toisiinsa monimutkaisesti haarautuvina ketjuina.

Mandelbrotin joukkojen tutkimus kuuluu alunperin kompleksidynamiikaksi kutsuttuun matematiikan alaan, sillä joukot määrittelee origon kohtalo eriasteisia polynomeja iteroitaessa -- siis tason polynomien dynamiikka. Puurakenteiden säännönmukaisuudet liittävät ne toisaalta myös kombinatoriikan ja jopa lukuteorian alaan. Jokaiseen komponenttiin nimittäin liittyy tietty symbolijono, joka luettelee ns. "näkyviä" komponentteja, eräänlaisia maamerkkejä, ja josta siten voi päätellä mihin suuntaan eri haarakohdista on käännyttävä pyrittäessä joukon sisällä origosta kyseiseen komponenttiin. Symbolijonoja on kuitenkin enemmän kuin komponentteja, joten osa jonoista esittää "olemattomia" komponentteja.

Kaukon väitöstutkimuksen näkökulma on kombinatorinen. Siinä laajennetaan Mandelbrotin joukkojen rakennetta koskevia tuloksia ja käsitteitä em. symbolijonoista koostuvaan abstraktiin avaruuteen. Symboliavaruus osoittautuu rakenteeltaan säännöllisemmäksi kuin vastaava Mandelbrotin joukko, joka siis on tavallaan sen osa. Lisäksi eriasteisten Mandelbrotin joukkojen perusrakenne on hyvin samanlainen, vaikka haaroja tuleekin lisää asteen kasvaessa.

Keskeinen tulos on algoritmi, jolla löydetään kustakin komponentista katsoen origosta poispäin kasvavat ns. näkyvät puut. Kun siis ennestään tunnettiin ajo-ohjeet perille annettuun osoitteeseen, Kaukon algoritmi kertoo minne pääsee jos jatkaa matkaa seuraavankin tienristeyksen yli.

Näkyvätkin komponentit voivat kuitenkin olla olemattomia, joten Mandelbrotin joukossa matkaileva saattaa yllättäen joutua kompleksitason ulkopuolelle symbolikartan mukaan suunnistaessaan. Kaukon väitöksessä kuitenkin annetaan keinot tunnistaa ainakin eräs olemattomien komponenttien laaja kategoria, varjopuut, ja niihin Mandelbrotin joukosta johtavat katoamispisteet.

Kaukon väitös on matematiikan perustutkimusta, joka antaa uutta tietoa Mandelbrotin joukkojen rakenteesta. Työssä esitettyä puunkasvatusalgoritmia voitaneen soveltaa muidenkin haaroittuvien systeemien teoreettiseen tutkimukseen.